4.3 การนำสมบัติของจำนวนจริงไปใช้ในการแก้สมการกำลังสอง
ตัวแปร : อักษรภาษาอังกฤษตัวเล็ก เช่น x , y ที่ใช้เป็นสัญลักษณ์แทนจำนวน
ค่าคงตัว : ตัวเลขที่แททนจำนวน เช่น 1, 2
นิพจน์ : ข้อความในรูปสัญลักษณื เช่น 2, 3x ,x-8 ,
เอกนาม : นิพจน์ที่เขียนอยู่ในรูปการคูณของค่าคงตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปที่มีเลขชี้กำลังของตัวแปรเป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ เช่น -3, 5xy , 2y
พหุนาม : นิพจน์ที่สามารถเขียนในรูปของเอกนาม หรือการบวกเอกนามตั้งแต่สองเอกนามขึ้นไป เช่น 3x , 5x +15xy+10x+5
ดีกรีของเอกนาม : ดีกรีสูงสุดของเอกนามในพหุนามนั้น เช่น x+2xy+1 เป็นพหุนามดีกรี 3
4.3.1การแยกตัวประกอบของพหุนาม
พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว : พหุนามที่เขียนได้ในรูป ax + bx +c = 0 เมื่อค่าคงตัวที่ a ≠ 0 และ x เป็นตัวแปร
- การแยกตัวประกอบของ x +bx +c = 0 เมื่อ b , c เป็นค่าคงตัวที่ c = 0
ทำได้โดยการาจำนวน d และ e ที่ de = c และ d+c = b ทำให้ x +bx + c = (x+d)(x+c)
เช่น จงแยกตัวประกอบของ x +7x + 12
จัดพหุนามให้อยู่ในรูป x +(d+e)x+de
นั้นคือ หาจำนวนสองจำนวนที่คูณกันได้ 10 และบวกกันได้ 7
ซึ่งก็คือ 5 และ 2
จะได้ (5)(2) = 10 และ5+2 = 7
ดั้งนั้น x+7x+10= (x+5) (x+2)
| NOTE ในกรณ๊ทั่วไป x – a = (x-a)(x+a) เมื่อ a เป็นค่าคงตัวที่ a ≠ 0 |
- การแยกตัวประกอบของพหุนามในรูป ax +bx +c เมื่อ a, b , c , เป็นค่าคงตัว และ a ≠0 ,c ≠ 0
เช่น 4x-4x+1 ทำได้ดังนี้
1.) หาพหุนามดีกรีหนึ่งพหุนามที่คูณกันได้ 4x มี(2x)(2x)หรือ (4x)(x) เขียนสองพหุนามที่ได้ให้เป็นพจน์หน้าของผลคูณของพหุนามใหม่ดังนี้
(2x )(2x )หรือ(4x )(x )
2.)หาจำนวน 2 จำนวนที่คูณกันได้ 1 ซึ่งได้แก่ (1)(1) หรือ (-1)(-1) เขียนจำนวนทั้งสองเป็นพจน์หลังของพหุนามในข้อ 1) ดังนี้
(2x+1)(2x+1) หรือ (4x+1)(x+1)
(2x-1)(2x-1)หรือ(4x-1)(x-1)
3.)หาพจน์กลางของพหุนามจากผลคูณของพหุนามแต่ละคู่ในข้อ 2 ) ที่มีผลบวกเท่ากับ -4x จะได้
- การแยกตัวประกอบของพหุนามที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์
กำลังสองสมบูรณ์ : พหุนามดีกรีสองสมบูรณ์ที่แยกตัวประกอบแล้วได้ตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีหนึ่งซ้ำกัน เช่น
x+2ax+4 = (x+2)(x+2) = (x+2)
x-4x+4 = (x-2)(x-2) = (x-2)
ในกรณีทั่วไปพหุนามดีกรีกำลังสองสมบูรณ์ แยกตัวประกอบได้ดังนี้
x-2ax+a = (x-a)
x+6x+9 = (x+3)
x-2ax+a = (x-2)
x-8x+16 = (x-4)
- การแยกตัวประกอบโดยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์
พหุนาม x+bx+c เช่น x+2x-5 ทำให้เป็นกำลังสองสมบรูณ์ ดังนี้
X+2x-5 = ( x+2x)-5
= (x+2x+1)-5-1
= (x+1) -6
ดั้งนั้น x+2x-5 = (x+1)-6
จาก x-a = (x-a)(x+a)
จะได้ (x+1)-6 = ((x+1)- 6 )((x+1)+ 6 )
4.3.2 การแก้สมการกำลังสองสมบูณณ์
การแก้สมการหรือการหาคำตอบของสมการสองตัวแปรเดียว การหาคำตอบของสมการที่เขียนอยู่ในรูป ax+bx+c = 0 เมื่อ a b c เป็นค่าคงตัว และ a = 0 ทำได้โดยอาศัยความรู้เกี่ยวกับจำนวนจริง ดังนี้
“ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริง และab = 0 แล้ว a = 0”
การหาคำตอบของสมการ : การหาจำนวนที่นำไปแทน x ในสมการแล้วได้สมการที่เป็นจริง
-การแก้สมการกำลังสองโดยวิธีการแยกตัวประกอบ
-การแก้สมการกำลังสองโดยวิธีการแยกตัวประกอบ
เช่น แยกตัวประกอบของ x-4x+3 = 0
วิธีทำ แยกตัวประกอบของ x-4x+3
จะได้ (x-3)(x-1)
หาคำตอบของสมการ (x-3)(x-1) = 0
โดยหา x ที่ทำให้ x-3 = 0 หรือ x-1= 0
นั่นคือ x= 0 หรือ x= 1
ตรวจคำตอบ โดยแทนค่า x ในการ x-4x+3 = 0 ด้วย 1หรือ 3
เมื่อแทนค่า x ด้วย 1 จะได้
(1)-4 (1)+3 = 0 ซึ่งเป็นจริง
เมื่อแทนค่า x ด้วย 3 จะได้
(3)-4(3)+3 = 0 ซึ่งเป็นจริง
ดังนั้น 1 และ3 เป็นคำตอบของสมการ x -4x+3 =0
- การแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตร
x = เมื่อ a = 0 และ b -4ac ≥0 |
| NOTE สมการกำลังสอง ax +bx+c = 0 เมื่อ a b c เป็นค่าคงตัว และ a = 0 มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง 2 คำตอบ เมื่อ b -4ac 0 มีคำตอบที่เป็นจำนวน 1 คำตอบ เมื่อ b -4ac = 0 ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง เมื่อ b -4ac 0 |
เช่น 1. จงหาคำตอบของสมการ 3x-11 = 0
วิธีทำ เมื่อเทียบกับสมการ ax+bx+c = 0
จะได้ a =3, b= 0 , c = 0
B -4ac = 0 -4(3)(-11) = 132
และ เป็นคำตอบของสมการ
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น